Ⅲ과목 통계분석과 활용_1장 확률분포_01확률분포의 의미_➊확률변수와 확률분포

➊확률변수와 확률분포
▶확률분포는 어떤 사건의 발생 가능성을 표현하는 방법입니다. 이는 각각의 사건이 발생할 확률을 나타내는 함수로서, 모든 가능한 사건의 집합에 대한 확률을 할당합니다. 이는 두 가지 주요 유형으로 나뉘는데, 이산 확률분포와 연속 확률분포가 그것입니다.
①이산 확률분포	이산 확률변수는 특정한 값들만 가질 수 있으며, 이 값들 사이에는 어떤 값도 존재하지 않습니다. 예를 들어, 주사위를 던져 나오는 눈의 수는 이산 확률변수입니다. 각 눈금(1, 2, 3, 4, 5, 6)이 나올 확률은 1/6로 동일하며, 이런 확률분포를 균등 분포라고 합니다.
②연속 확률분포	연속 확률변수는 무수히 많은 값들을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 사람의 키는 연속 확률변수로 볼 수 있습니다. 이는 확률밀도함수를 통해 표현되며, 특정 구간에서 확률을 계산합니다. 이런 확률분포를 이해하고 사용하는 것은 통계학, 데이터 과학, 머신러닝 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다. 확률분포를 통해 우리는 불확실성을 수량화하고, 예측 모델을 만들며, 데이터를 분석하고 이해할 수 있습니다.
▶확률변수란, 확률실험의 결과에 대해 수치를 부여하는 함수입니다. 다시 말해, 확률적인 사건의 결과를 수치화한 것이라고 볼 수 있습니다. 확률변수는 크게 이산 확률변수와 연속 확률변수로 나뉩니다.
①이산 확률변수	이산 확률변수는 특정한 값들만 가질 수 있는 확률변수를 말합니다. 이 값들은 서로 구별 가능하며, 이 값들 사이에는 어떤 값도 존재하지 않습니다. 예를 들어, 주사위를 굴려 나오는 눈의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6이라는 특정한 값들만 가질 수 있으므로 이산 확률변수입니다.
②연속 확률변수	반면, 연속 확률변수는 어떤 구간 안에서 무수히 많은 값을 가질 수 있는 확률변수를 말합니다. 예를 들어, 사람의 키나 몸무게는 무수히 많은 가능한 값들을 가질 수 있으므로 연속 확률변수입니다.
확률변수는 확률분포를 통해 그 값들이 어떠한 패턴이나 형태로 나타나는지를 설명합니다. 예를 들어, 이산 확률변수의 경우에는 각 값이 나타날 확률을 나타내는 확률질량함수가 있으며, 연속 확률변수의 경우에는 확률밀도함수를 통해 그 분포를 설명합니다. 이러한 확률분포와 확률변수는 불확실성 하에서의 예측이나 결정을 내리는 데 매우 중요한 도구입니다.

➊확률변수와 확률분포
▶확률(probability)은 어떤 사건이 발생할 가능성을 수치적으로 표현한 것입니다. 이는 0과 1 사이의 값을 가지며, 0은 해당 사건이 절대로 발생하지 않을 것임을, 1은 해당 사건이 반드시 발생할 것임을 나타냅니다. 그 사이의 값은 그 사건이 발생할 가능성을 나타냅니다. 확률은 일반적으로 두 가지 방법으로 표현될 수 있습니다.
①빈도주의적 관점	이 관점에서 확률은 동일한 조건 하에서 반복적으로 수행되는 실험에서 특정 사건이 발생하는 빈도를 의미합니다. 예를 들어, 공정한 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 0.5입니다. 이는 동전을 무한히 던졌을 때 약 절반의 시행에서 앞면이 나오기 때문입니다.
②베이지안 관점	이 관점에서 확률은 주관적인 믿음이나 확신의 정도를 나타냅니다. 예를 들어, 내일 비가 올 확률이 0.3이라는 것은 내일 비가 올 것이라는 믿음이 30%라는 것을 의미합니다.
확률은 통계학, 데이터 과학, 머신러닝 등 다양한 분야에서 중요한 개념입니다. 이를 이해하고 사용하는 것은 불확실성을 수량화하고, 예측 모델을 만들며, 데이터를 분석하고 이해하는 데 필수적입니다.
▶표본공간과 사건 표본공간이란, 어떤 확률적 실험에서 나타날 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합을 의미합니다. 예를 들어, 동전을 한 번 던지는 실험에서 표본공간은 {앞면, 뒷면}이 될 것입니다. 또 다른 예로, 주사위를 한 번 굴리는 실험에서 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}이 될 것입니다. 그리고 이 표본공간의 부분집합을 '사건'이라고 합니다. 사건은 하나 이상의 결과를 포함하는 집합으로, 일반적으로 우리가 관심을 가지는 결과들의 집합입니다. 예를 들어, 주사위를 던져서 짝수가 나오는 경우를 생각해봅시다. 이 경우, '짝수가 나오는 사건'은 {2, 4, 6}이라는 부분집합을 의미하며, 이는 표본공간 {1, 2, 3, 4, 5, 6}의 부분집합입니다. 확률이라는 개념은 이 '사건'에 대해 정의되며, 각 사건이 발생할 가능성을 나타냅니다. 예를 들어, 공정한 주사위를 던졌을 때 '짝수가 나오는 사건'이 발생할 확률은 1/2로, 표본공간의 모든 결과 중 짝수인 결과의 비율을 나타냅니다.

➊확률변수와 확률분포
▶합사건 / 곱사건 / 여사건
①합사건 (Union)	두 사건 A와 B 중에서 적어도 하나가 발생하는 사건을 합사건이라고 합니다. 표기는 A∪B로 나타내며, 'A 또는 B'라고 읽습니다. 예를 들어, 주사위를 던져서 나오는 수가 2 또는 3이라는 사건을 생각해보면, 이는 합사건입니다.
②곱사건 (Interaction)	두 사건 A와 B가 동시에 발생하는 사건을 곱사건이라고 합니다. 표기는 A∩B로 나타내며 'A 그리고 B'라고 읽습니다. 예를 들어, 동전을 두 번 던져서 첫 번째는 앞면, 두 번째는 뒷면이 나오는 사건은 곱사건입니다.
③여사건 (Complement)	어떤 사건 A가 발생하지 않는 사건을 여사건이라고 합니다. 표기는 A' 또는 A^c로 나타냅니다. 예를 들어, 주사위를 던져서 5가 나오는 사건의 여사건은 주사위를 던져서 5가 아닌 수가 나오는 사건입니다.
이렇게 정의된 합사건, 곱사건, 여사건은 확률의 기본적인 성질과 연산을 이해하는 데 중요한 개념입니다. 특히, 이들을 이용하면 복잡한 사건에 대한 확률을 간단한 사건의 확률로 분해하여 계산할 수 있습니다.
▶확률의 종류
①주관적 확률		주관적 확률은 개인의 믿음이나 판단에 기반한 확률입니다. 이는 개인의 경험, 정보, 지식 등에 따라 다르게 해석될 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 사람이 내일 비가 올 것이라고 생각하는 확률이 70%라고 판단한다면, 이는 주관적 확률입니다.
②이론적 확률		이론적 확률은 가능한 모든 결과에 대해 동등한 확률을 부여하는 경우에 사용됩니다. 예를 들어, 공정한 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 0.5입니다. 이는 가능한 결과(앞면, 뒷면)가 두 가지이고, 각각이 동등하게 나타날 것이기 때문입니다.
③경험적 확률		경험적 확률은 과거의 데이터나 경험에 기반하여 계산되는 확률입니다. 예를 들어, 특정 야구 선수가 타석에 들어설 때 홈런을 칠 확률을 계산하려면, 그 선수가 지금까지 타석에 들어섰을 때 홈런을 친 횟수와 전체 타석 수를 사용하여 확률을 계산할 수 있습니다.
④조건부 확률		조건부 확률은 어떤 사건 B가 주어졌을 때, 다른 사건 A가 발생할 확률을 의미합니다. 이는 P(A|B)로 표기되며, "B가 주어졌을 때 A의 확률"로 해석됩니다.

➊확률변수와 확률분포
▶배반사건과 독립사건
①배반사건 (Mutually Exclusive Events)		배반사건은 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 수 없는 경우를 말합니다. 즉, 한 사건이 일어나면 다른 사건은 발생하지 않습니다. 배반사건은 서로 교집합이 없는 사건들로 구성됩니다. 예를 들어, 동전 던지기 실험에서 "앞면이 나오는 사건"과 "뒷면이 나오는 사건"은 배반사건입니다. 동전은 앞면과 뒷면 중 하나만 나오므로, 앞면이 나오면 뒷면은 나오지 않고, 뒷면이 나오면 앞면은 나오지 않습니다. 두 개의 사건 A와 B가 배반사건인 경우, 다음과 같이 표현할 수 있습니다. P(A∩B) = 0 즉, 두 사건의 교집합의 확률은 0입니다. 이는 두 사건이 동시에 발생할 수 없다는 것을 의미합니다.
②독립사건 (Independent Events)		독립사건은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 발생에 영향을 주지 않는 경우를 말합니다. 즉, 한 사건이 발생하더라도 다른 사건의 확률에는 영향을 미치지 않습니다. 독립사건은 서로 독립적으로 발생할 수 있는 사건들로 구성됩니다. 예를 들어, 주사위를 던진다고 가정해봅시다. "1이 나오는 사건"과 "짝수가 나오는 사건"은 독립사건입니다. 주사위의 결과가 1이 나온다고 해서 짝수가 나올 확률에 영향을 주지 않으며, 짝수가 나온다고 해서 1이 나올 확률에도 영향을 주지 않습니다. 두 개의 사건 A와 B가 독립사건인 경우, 다음과 같이 표현할 수 있습니다. P(A∩B) = P(A) * P(B) 즉, 두 사건의 교집합의 확률은 각 사건의 확률의 곱과 같습니다. 이는 한 사건의 발생 여부가 다른 사건에 영향을 주지 않는 독립성을 나타냅니다.
즉, 배반사건은 동시에 발생할 수 없는 사건들을 의미하며, 독립사건은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건에 영향을 주지 않는 사건들을 의미합니다.

 

➊확률변수와 확률분포

▶베이즈 정리 베이즈 정리는 조건부 확률을 계산하기 위해 사용되는 확률 이론의 핵심 개념입니다. 베이즈 정리는 사건의 발생 여부에 대한 추가적인 정보를 바탕으로 초기의 확률을 수정하는 방법을 제공합니다. 예를들어 물건을 살 때, 초기에는 그 물건의 품질에 대해 정확한 정보를 가지고 있지 않습니다. 이때, 다른 사람들의 추천이나 리뷰를 통해 해당 물건의 품질에 대한 추가 정보를 얻을 수 있습니다. 베이즈 정리는 이와 비슷한 개념입니다. 초기에는 어떤 사건이 발생할 확률에 대해 정확한 정보를 가지고 있지 않습니다. 그러나 추가적인 정보를 얻게 되면, 이 정보를 사용하여 초기의 확률을 조정할 수 있습니다. 예를 들어, "내일 비가 올 확률은 얼마일까?"라는 질문에 대해 초기에는 기상 예보를 보지 않았다면 정확한 답을 알기 어렵습니다. 그러나 추가로 기상 예보를 확인하면서 비가 올 확률에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. 베이즈 정리는 이러한 추가 정보를 활용하여 초기의 확률을 조정하는 방법을 제공합니다. 기존의 사전 확률을 새로운 정보와 결합하여 조건부 확률을 계산하게 되는데, 이를 통해 초기의 확률을 보다 정확하게 수정할 수 있습니다. 즉, 베이즈 정리는 초기의 믿음이나 지식을 새로운 정보로 업데이트하여 더 정확한 확률을 얻을 수 있게 도와주는 방법입니다. 이는 예측이나 의사 결정에 유용하게 활용될 수 있습니다. 베이즈 정리는 다음과 같이 표현됩니다

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) 여기서, P(A|B)는 사건 B가 발생한 조건에서 사건 A가 발생할 확률입니다. 이를 'A의 조건부 확률'이라고 합니다. P(B|A)는 사건 A가 발생한 조건에서 사건 B가 발생할 확률입니다. 이를 'B의 조건부 확률'이라고 합니다. P(A)와 P(B)는 각각 사건 A와 B의 사전 확률입니다. 즉, 추가 정보가 없을 때의 초기 확률을 의미합니다.

베이즈 정리는 사건 B가 발생한 상황에서, 사건 A의 확률을 조정하는 데 사용됩니다. 이를 통해 이전에 가지고 있던 사전 지식을 새로운 정보로 업데이트할 수 있습니다. 즉, 베이즈 정리를 사용하면 추가적인 정보를 토대로 사건의 확률을 조정할 수 있습니다. 베이즈 정리는 확률론적 추론, 통계학, 기계 학습 등 다양한 분야에서 활용되며, 예측, 분류, 의사 결정 등에 유용하게 사용됩니다.